前回の記事では、逐次重合のメカニズムと、反応率と重合度の関係を示す「カロザースの式」について解説しました。
$$\overline{X_n} = \frac{1}{1 – p}$$
前回に記事については以下のリンクからご確認ください。
このシンプルで美しい数式について、「なぜこの式になるのか？」を根本から理解している人は意外と少ないかもしれません。
実はこの式、難しい微分積分などは一切使わず、「分子の数を数えるだけ」でとても簡単に導き出すことができます。
今回は、カロザースの式の導出方法を、4つのステップでゼロから分かりやすく解説します！
準備：登場する3つの記号を確認しよう
導出を始める前に、まずは使う記号を定義しておきましょう。ここをしっかりイメージできるかが最大のポイントです。
- $N_0$ ： 最初のモノマーの総数（反応スタート時のバラバラな分子の数）
- $N$ ： 反応途中（ある時間）の分子の総数（繋がってできた高分子や、未反応のモノマーなどをすべてひっくるめた数）
- $p$ ： 反応率（0〜1の値。官能基がどれくらい反応したかの割合）
※今回は最もシンプルな例として、1つの分子に「反応できる手（官能基）」が2つあるモノマー（A-B型モノマーなど）を想定して考えます。
ステップ1：反応によって減った「分子の数」を考える
逐次重合では、分子と分子がくっついて1つの鎖になるたびに、全体の分子の数は1つずつ減っていきます。
最初は $N_0$ 個あった分子が、反応が進んで $N$ 個になったとします。
このとき、「新しく作られた結合の数」は、減った分子の数と等しくなります。
- 作られた結合の数 ＝ $N_0 – N$
ステップ2：「反応率 p」を数式で表す
反応率 $p$ とは、「最初にあった官能基（手）のうち、どれくらいが実際に手を繋いだか」という割合のことです。
モノマー1個につき官能基は2つあるので、最初の官能基の総数は $2N_0$ 個です。
また、1つの結合ができると、2つの官能基が消費されます。ステップ1より、作られた結合の数は $(N_0 – N)$ 個なので、消費された官能基の数は $2(N_0 – N)$ 個となります。
したがって、反応率 $p$ は次のように表せます。
$$p = \frac{消費された官能基の数}{最初の官能基の総数} = \frac{2(N_0 – N)}{2N_0} = \frac{N_0 – N}{N_0}$$
分母と分子の2が約分されて、とてもシンプルな形になりましたね！
（※直感的に「反応した分子の割合」と考えて、$p = \frac{N_0 – N}{N_0}$ といきなり定義しても間違いではありません。）
ステップ3：反応後の分子数 N を p を使って表す
ステップ2で作った式を変形して、「現在の分子数 $N$」がどうなるかを求めます。
$$p = \frac{N_0 – N}{N_0}$$
$$p = 1 – \frac{N}{N_0}$$
$$\frac{N}{N_0} = 1 – p$$
$$N = N_0(1 – p)$$
この式は、「反応率 $p$ が大きくなるほど、残っている分子の数 $N$ は減っていく」という当たり前の事実を数式で表したものです。
ステップ4：数平均重合度の定義に代入する（完成！）
最後に、求めたい「数平均重合度 $\overline{X_n}$」を計算します。
数平均重合度とは、「現在ある分子1個あたり、平均して何個のモノマーが繋がっているか」を示す値です。
全体のモノマーの数は最初から最後まで $N_0$ 個で変わりません。それを現在の分子の数 $N$ で割れば、平均重合度が出ます。
$$\overline{X_n} = \frac{最初のモノマーの総数}{現在の分子の総数} = \frac{N_0}{N}$$
ここに、ステップ3で求めた $N = N_0(1 – p)$ を代入します。
$$\overline{X_n} = \frac{N_0}{N_0(1 – p)}$$
分母と分子の $N_0$ が約分されて消えます。
$$\overline{X_n} = \frac{1}{1 – p}$$
これでカロザースの式の導出は完了です！
まとめ
導出の大きな流れをおさらいしましょう。
- 反応率 $p$ を、最初の分子数 $N_0$ と現在の分子数 $N$ で表す。($p = \frac{N_0 – N}{N_0}$)
- 式を変形して $N$ について解く。($N = N_0(1 – p)$)
- 重合度の定義式 ($\overline{X_n} = \frac{N_0}{N}$) に代入する。
この3ステップを頭に入れておけば、その場で導き出すことができます。
「結合が1つできると、分子が1つ減る」という逐次重合のイメージを大切にしながら、ぜひご自身の手で一度計算してみてくださいね！
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